Künstliche neuronale Netze trainieren, um Diskontinuitäten in Lösungen von Erhaltungssätzen aufzuspüren

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Informatik

Mathematiker der EPFL haben eine neue Methode zur Ermittlung von Diskontinuitäten entwickelt, die darin besteht, ein künstliches neuronales Netz dank überwachtem Lernen zu trainieren, um festzustellen, ob eine Zelle gefährdet ist oder Probleme verursacht. Das Netz wird offline trainiert und kann leicht in bestehende Code-Strukturen integriert werden.

Wenn ein Flugzeug die Schallgeschwindigkeit erreicht, entsteht eine Stosswelle. Wenn eine Stosswelle Energie transportiert, zeichnet sie sich wie eine gewöhnliche Welle durch eine abrupte Veränderung der Umgebungseigenschaften zum Beispiel im Hinblick auf Druck oder Temperatur aus. Aufgrund dieses plötzlichen Übergangs müssen Stosswellen wie diskontinuierliche Übergänge behandelt werden.

Wir wissen, dass die Lösungen – z.B. Stosswellen – von besonderen, zeitabhängigen, unter der Bezeichnung Erhaltungssatz bekannten partiellen Differenzialgleichungen oft Diskontinuitäten aufweisen. Die Saint-Venant-Flachwassergleichungen, die die Dynamik von Flüssigkeiten in Gewässern beschreiben, sind ein anderes typisches Beispiel. Numerische Algorithmen können zwar Näherungen dieser Diskontinuitäten errechnen, werden aber durch falsche Oszillationen in die Irre geführt, die zu numerischen Instabilitäten und folglich falschen Ergebnissen führen können.

Eine für die Behebung dieses Problems verbreitete Technik besteht darin, die numerische Lösung in den gefährdeten Zellen des für die Zerlegung des physischen Bereichs verwendeten Gitters zu beschränken. Diese Methode setzt jedoch voraus, dass man die gefährdeten Zellen lokalisieren kann. Dazu wird ein geeigneter Indikator verwendet, d.h. ein Algorithmus, der die gefährdeten Zellen anzeigt, in denen die Lösung instabil ist. Obwohl im Laufe der Jahre mehrere solche Indikatoren entwickelt wurden, müssen bei den meisten problemabhängige Parameter festgelegt werden. Wenn deren Auswahl nicht optimal ist, führt dies entweder zum Wiederauftreten der Oszillationen oder zu einer Abnahme der Genauigkeit in den Regionen, in denen die Lösung stabil ist.

Prof. Jan S. Hesthaven, Leiter des Lehrstuhls für computationelle Mathematik und Simulationswissenschaften (MCSS), und der Postdoktorand Deep Ray befassen sich mit der Effizienz von Deep-Learning-Techniken zur Lösung der Probleme bei der Anpassung von Parametern für die computergestützte Lösung von partiellen Differenzialgleichungen. Ihre Forschungsarbeit wurde im Journal of Computational Physics veröffentlicht.

Darstellung der Dichte in einer Lösung der Eulerschen Gleichung der Gasdynamik.

Beseitigung von algorithmischen Engpässen dank tiefer Neuronennetze

Bei ihrer neuen Methode zur Ermittlung von Diskontinuitäten wird ein künstliches Neuronennetz offline mit Daten trainiert, die durch einfache kanonische Funktionen generiert werden. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie keine Parameter aufweist, hinsichtlich der Informatik effizient, problemunabhängig und in die bestehenden Code-Strukturen integrierbar ist. Ausserdem hat sich das Netz als leistungsfähiger erwiesen als die traditionellen Indikatoren für gefährdete Zellen. Dank dieser Eigenschaften ist das Netz ein attraktiver universeller Indikator für gefährdete Zellen bei allgemeinen Erhaltungssätzen.

Deep Learning bietet ein beachtliches Potenzial für die Lösung von Problemen im Bereich der komputationellen Wissenschaften. Die Nutzung solcher Netze hat in jüngster Zeit grosses Interesse geweckt. Jan Hesthaven und sein Team sind jedoch der Auffassung, dass Deep Learning die etablierten numerischen Methoden nicht völlig ersetzen, sondern eher zur Leistungsverbesserung beitragen sollte.

Die Mathematiker der EPFL versuchen nun, die Oszillation zu unterdrücken, indem sie einen viskösen Term in die partiellen Differenzialgleichungen einfügen. Ziel ist weiterhin, ihre Methode von Parametern zu befreien, weshalb sie neuronale Netze trainierten, um die erforderliche Viskosität vorherzusagen. Die Ergebnisse sind viel versprechend, denn die Netze übertreffen die bestehenden Methoden sowohl in Bezug auf strukturierte als auch nichtstrukturierte Gitter.

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