Des réseaux neuronaux pour détecter les sauts dans les solutions aux lois de conservation

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Des mathématiciens de l’EPFL ont mis au point une nouvelle méthode pour détecter des discontinuités, qui consiste à entraîner un réseau neuronal artificiel – grâce à l’apprentissage supervisé – à déterminer si une maille est bonne ou pose problème. Le réseau est entraîné hors ligne et peut facilement être intégré dans des structures de code existantes.

Lorsqu’un avion atteint la vitesse du son, une onde de choc se forme. Si une onde de choc transporte de l’énergie, comme une vague ordinaire, elle est caractérisée par un changement brusque dans les caractéristiques du milieu, par exemple au niveau de la pression ou de la température. En raison de cette transition soudaine, les ondes de choc doivent être traitées comme des transitions discontinues.

Nous savons que les solutions – par exemple l’onde de choc – d’équations aux dérivées partielles (EDP) particulières dépendantes du temps, connues sous le nom de lois de conservation, présentent souvent des discontinuités. Les équations de Saint-Venant, qui décrivent la dynamique des fluides dans des plans d’eau, en sont un autre exemple typique. Toutefois, s’ils sont capables d’effectuer des approximations de ces discontinuités, les algorithmes numériques sont induits en erreur par de fausses oscillations qui peuvent entraîner des instabilités numériques et donc des résultats erronés.

Une technique répandue pour remédier à ce problème consiste à limiter la solution numérique dans les mailles problématiques du maillage utilisé pour décomposer le domaine physique. Cependant, cette méthode requiert de localiser les mailles en question. Pour ce faire, on recourt à un indicateur approprié de mailles problématiques, un algorithme qui signale les mailles dans lesquelles la solution est instable. Bien que plusieurs indicateurs de la sorte aient été développés au fil des années, la plupart ont besoin que des paramètres dépendants du problème soient fixés. Si le choix de ces derniers n’est pas optimal, cela peut soit faire réapparaître les oscillations, soit entraîner une diminution de la précision dans les régions du domaine où la solution est stable.

Le professeur Jan S. Hesthaven, responsable de la Chaire de mathématiques computationnelles et sciences de la simulation (MCSS), et le chercheur postdoctoral Deep Ray étudient l’efficacité des techniques d’apprentissage profond (deep learning) pour résoudre des problèmes d’ajustement de paramètres lors de la résolution informatique d’équations aux dérivées partielles. Leur recherche a été publiée dans le Journal of Computational Physics.

Représentation de la densité dans une solution de l’équation d’Euler de la dynamique des gaz.

Résoudre les goulots d’étranglement d’algorithmes grâce à des réseaux de neurones profonds

Leur nouvelle méthode pour détecter des discontinuités implique l’entraînement d’un réseau de neurones artificiel, pendant une phase hors ligne, avec des données générées par des fonctions canoniques simples. L’avantage de cette approche est qu’elle est dépourvue de paramètres, efficace sur le plan informatique, indépendante du problème et intégrable dans des structures de code existantes. En outre, le réseau s’est révélé plus performant que les indicateurs de mailles problématiques traditionnels. Fort de ces propriétés, le réseau est un indicateur universel de mailles problématiques attrayant pour des lois de conservation générales.

L’apprentissage profond présente un important potentiel pour résoudre des problèmes rencontrés en sciences computationnelles. Récemment, l’utilisation de tels réseaux a suscité un grand intérêt. Cependant, Jan Hesthaven et son équipe estiment que l’apprentissage profond ne doit pas remplacer totalement les méthodes numériques bien établies. Il doit plutôt contribuer à améliorer leur performance.

Les mathématiciens de l’EPFL cherchent désormais à supprimer les oscillations en introduisant un terme visqueux artificiel dans l’équation aux dérivées partielles de base. Toujours dans le but de libérer leur méthode des paramètres, ils ont entraîné les réseaux neuronaux à prédire la viscosité requise. Les résultats sont prometteurs: les réseaux surpassent les méthodes existantes tant pour les maillages structurés que pour les maillages non structurés.

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